听说Escher，是在大学时候看到这本书：
这是Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid一书的中文简译，本来就比较抽象艰深，再进行翻译和简化转述，文字看得半懂不懂，图片倒的确是看的津津有味。
右图就是我们要山寨的Print Gallery：
书虽然并未看懂，但我对哥德尔和埃舍尔一直感兴趣。北京有一个凤凰汇购物中心，内部有几个立面用了埃舍尔的画做装饰，初见时颇以为讶异，还跟好几个人介绍过。
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但我对埃舍尔的作品的理解一直是，这些画作为数学家提供了一些灵感，从未想过这些画作本身可能蕴藏着真正的数学。直到2016年在podcast上看到一个Oxford的讲座：
https://podcasts.apple.com/us/podcast/the-secrets-of-mathematics/id852374699?i=1000420938867
Youtube链接在这里
简单地说，数学家通过仔细观察这副画作，发现埃舍尔通过一种数学变换（学电子信息的朋友可能很熟悉的保角变换），把一个缩放不变的图像（Droste Effect），变成了二维平面上的循环结构。
更详细的讲解见这里。
看完这个讲座，我就决定要自己做一个类似的作品来致敬埃舍尔，动起手来才发现非常不容易。
一开始我用的是OpenCV的remap函数。当时遇到的问题是，remap函数本来就不直观，加上变换矩阵确实复杂，而手头一时也没有合适的素材。所以一直停留在原理验证阶段。下图是2017年的成果。
可以看到实现了错位效果，但是没有实现内外层的对齐。后来发现是旋转角度取反正切的时候算成反余切了，所以一直对不上。最初的热情逐渐冷却，就放下来了。
到了2020年，彭罗斯获得了诺贝尔奖（物理学！），才又想起这个事情——彭罗斯及其父亲跟埃舍尔过从甚密，还在牛津给本科生开了一门课，就叫Eschermatics，埃舍尔数学。Chapman的讲座后面就是Penrose讲密铺和Escher的画。
这一次改用OpenCV的warpPolar函数，省得自己做变换矩阵了。但是带来的问题是，我们需要变换的图像在横轴和纵轴两个方向都是周期性的，而warpPolar函数在纵轴上只有0-2pi这一个周期，而在横轴上则没有周期，需要手动进行周期性延拓。
此外，由于数字图像天然是矩形的，对图像进行旋转之后，会在四个角形成黑块。这也需要进行处理。
这些都处理完成之后，才得到这样的结果：
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这一回，终于对齐了。代码完全跑通了。接下来是素材问题。
可以看到，经过变换之后的图像在边缘区域像素颗粒已经很明显。这还仅仅是16倍的Droste比例，要实现埃舍尔的256倍Droste比例，看来必须采用讲座中提到的分步法：拍4张照片，每一张比前一张放大4倍。变换之后分别对应一个区域，形状如右上图中的颜色分布。然后拼贴到一起。
然而4张刚好4倍比例的照片也非常难办。所以事情再次陷入停滞，直到前几天，我突然灵机一动，想到可以把照片跟踪成矢量图，这样就可以随意输出不同分辨率的图片了。于是找了一张以前的照片，在Inkscape里面进行一些加工，得到了这样四幅图：
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左上->右上->右下->左下，分别是：大楼，大楼的局部，窗户里，墙上的画。而墙上的画的一部分，正是左上角的大楼。
经过变换之后，分别得到：
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由于这些图像本来应该相差四倍，在变换图像上刚好相差90度，所以依次旋转0度，90度，180度，270度之后刚好可以拼贴到一起，结果是这样的：
再把中间的部分去掉，加上自己的签名，是不是有点像那么回事了？
既然做到这个样子了，就忍不住想把讲座中的视频也做出来。结果如下：
持续缩小：
显然，这个山寨的图片距离Escher的原作还有相当差距。对比发现主要问题在于，我基本上是在画中央直接放进去一个自身的1/256，在两个比例之间缺乏意义上的联系。而画面的全部细节都来自第一幅。其他三幅，对应放大4倍、16倍和64倍的时候，缺乏细节。而Escher的原作在不同的尺度上都有丰富的细节。
当然了，做到这个样子我已经很满意了。考虑到Escher的画创作于1956年，数学家大约在2002年揭开其中的奥妙（Chapman是在2002年听了Hendrik Lenstra的发言，受启发决定自己复刻一份，然后在2013年Oxford的数学研究所迁入新大楼的时候拍了照片，制作了视频，2016年在牛津做的讲座。Hendrik Lenstra在2018年的讲座在这里。），艺术家的灵感还是很神奇的。而我能在2020年山寨这么一份儿，似乎也不算很落后:-)。
最后，有没有人能看出来图片中的大楼是什么大楼呢？